OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMA´TICA-NIVEL 3

Ministerio OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMA´TICA Sociedad Matem´atica de Educacion (ONEM 2009) Peruana

Primera Fase - Nivel 3

26 de junio de 2009


- La prueba tiene una duracion m´axima de 2 horas.

- No est´a permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.

- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar tus calculos.

- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la prueba. En caso de empate se tomar´a en cuenta la hora de entrega.

- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.


MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS

1. Halla el valor num´erico de sen245◦ + cos 60◦ + csc 30◦.

5
A) 2 B)
2

7
C) 3 D)
2

E) 2 + √3

2. Halla el ´area de la regio´n sombreada sabiendo que AO = 3, C O = 2, EO = 1 y
_ _ _
m AB= m C D= m EF = 60◦

B


C D


E



A O F


7π
A) 2π B)
3

7π
C) 3π D)
2
5sen α − 3cos α

14π
E)
3

3. Si tan α = 0, 8, halla el valor de .
sen α − 2cos α
5 5 5 5

A) − 6 B) − 3 C) 6 D)

E) 2
3


4. Simplifica

m√n


3m−n •

n√p


3n−p •

p√m


3p−m

A) 1 B) √3 C) 3 D) 3−1 E) mn√p 3



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5. La suma de dos ´angulos es 200 grados centesimales y la diferencia de sus suplementos
es igual a 80 grados sexagesimales. Halla la medida del mayor de ellos en radianes .

3π 5π
A) B)
9 18

13π
C)
18

7π
D) E)
9

65π
81

6. El producto de tres enteros positivos distintos es 72. ¿Cu´al es la menor suma posible de dichos nu´meros?
A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 E) 12

_ _
7. En el grafico se tiene que AB = BD, m AE= 88◦ y m C B= 110◦. Halla el valor de x.







A) 55◦ B) 44◦ C) 35◦ D) 33◦ E) 27◦

8. Mar´ıa y Vanesa compran 13 caramelos y se los reparten entre ellas. Vanesa le reclama a Mar´ıa diciendo: “Tu´ tienes m´as del doble de lo que yo tengo, por favor dame tu tercera parte” y Mar´ıa le responde diciendo: “Pero si te doy mi tercera parte vas a tener mas caramelos que yo”. ¿Cua´ntos caramelos tiene Mar´ıa?
A) 6 B) 9 C) 4 D) 2 E) 12

9. Determina cu´antos cm mide el radio de la rueda A si cuando ´esta gira 120◦, la rueda
B gira 2π radianes y adema´s O1 O2 = 80 cm.



A) 20 cm B) 30 cm C) 40 cm D) 50 cm E) 60 cm



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10. En un tria´ngulo rect´angulo ABC , recto en C , se cumple que
tanA + tanB

senA + senB
senA − senB

3
= . Calcula
2

el valor de
26
A)
25


cotA

.
13 13
B) 25 C) 26 D) E)
9 4

11. Una nin˜a observa la cabeza de su padre con un ´angulo de elevaci´on de θ◦ y sus pies con un ´angulo de depresio´n de 30◦. Si la distancia del ojo de la nin˜a a la cabeza de su
3

padre es 1,5 metros y tan θ =

, halla la altura del padre, en metros.
4

A) 0, 8 + 0, 6√3 B) 0, 9 + 0, 4√3 C) 0, 9 + 0, 6√3 D) 1, 2 + 0, 4√3 E) 1, 2 + 0, 6√3

12. Se requiere programar una dieta con dos alimentos S y T . Cada unidad del alimento
S contiene 100 calor´ıas y 15 gramos de prote´ınas. La unidad del alimento T contiene
200 calor´ıas y 10 gramos de prote´ınas. La dieta requiere como m´ınimo 1000 calor´ıas y
90 gramos de prote´ınas. Si el precio de cada unidad del alimento S es 400 soles y de cada unidad del alimento T es de 300 soles, ¿cu´antas unidades de cada alimento debe contener la dieta para minimizar el costo?
A) 10 de S B) 9 de T C) 3 de S y 4 de T D) 4 de S y 3 de T E) 3 de S y 3 de T

13. En el siguiente arreglo, por cada dos puntos se traza una recta. ¿Cua´ntas rectas distin- tas se pueden trazar?





A) 18 B) 21 C) 24 D) 25 E) 27

14. Sea ABC un tri´angulo y D la proyeccio´n del punto B sobre la bisectriz del ´angulo
∠AC B. Si el ´area del tria´ngulo ABC es 12, determina el ´area del tria´ngulo ADC .
A) 12 B) 12 cos( C ) C) 12 sen( C ) D) 12 tan( C ) E) 6
2 2 2
15. ¿Cua´l es el menor nu´mero de 6 d´ıgitos distintos que es mu´ltiplo de 8? Da como respuesta la suma de los d´ıgitos de dicho nu´mero.
A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23



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16. La siguiente suma tiene 101 filas, ¿cu´al es el d´ıgito central del resultado?





A) 0 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7

17. En cada v´ertice de un rect´angulo de lados 3 y 4 se dibuja un cuadrante de radio 1, como muestra la figura. Luego se elige un punto de cada cuadrante de tal modo que se forme un recta´ngulo ABC D con AB = 2BC y lados paralelos a los del recta´ngulo mayor. Halla el ´area del recta´ngulo ABC D.




72 98
A) B)
25 25

128
C)
49

162 49
D) E)
49 8

18. ¿Cua´ntas soluciones tiene la ecuacio´n sen6 x + cos8 x = 1 en el intervalo [0,4π]?
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5

19. La suma de todos los divisores positivos de N es igual a 2801. ¿Cuantos nu´meros N
cumplen con esta condicio´n?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4



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20. Sean a, b, c nu´meros enteros (no necesariamente positivos) tales que a, a + b, a + b + c
son nu´meros distintos del conjunto {1, 2 , 3, . . . , 9}, halla el mayor valor de

(9a + 5b + 3c) (5a + b + 3c)

y da como respuesta la suma de sus d´ıgitos.
A) 14 B) 11 C) 21 D) 23 E) 24





GRACIAS POR TU PARTICIPACIO´ N