OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMA´TICA-NIVEL 2

OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMA´TICA Sociedad Matem´atica de Educacion (ONEM 2009) Peruana
Primera Fase - Nivel 2

26 de junio de 2009

- La prueba tiene una duracion m´axima de 2 horas.

- No est´a permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.

- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar tus calculos.

- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la prueba. En caso de empate se tomar´a en cuenta la hora de entrega.

- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.


MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS

1. En un sal´on de clases de 50 alumnos, 24 no trajeron el libro de comunicaci´on y 28 no

trajeron el libro de matema´tica. Si 14 estudiantes no trajeron el libro de matem ni el de comunicacio´n, ¿cua´ntos estudiantes trajeron solamente un libro?

tica

A) 14 B) 28 C) 24 D) 30 E) 20

2. Rau´l reparte su herencia entre sus tres hijas de tal forma que a la primera le toca los

4
del total, a la segunda los
15

3
y a la tercera S/. 1800. ¿Cu´al fue el total de la herencia?
5

A) S/. 13500 B) S/. 750 C) S/. 3000 D) S/. 9000 E) S/. 15000

3. Si m y n son nu´meros enteros tales que m + n = 5, entonces 2m − n no puede ser igual a
A) −5 B) 1 C) −2 D) 2 E) 7

4. Omar tiene cierto nu´mero de rosas y quiere regalarlas a sus amigas. Si regala 8 rosas a cada una le sobran 15, pero si quisiera regalar 11 rosas a cada una le faltar´ıan 3.
¿Cua´ntas rosas tiene Omar?
A) 63 B) 61 C) 69 D) 78 E) 55

5. Dos nu´meros son tales que el triple del mayor excede a un tercio del menor en 176; y cinco veces el menor excede a tres octavos del mayor en 216. Halla la diferencia positiva de los nu´meros.
A) 36 B) 64 C) 16 D) 24 E) 48

6. Sea P (x) un polinomio tal que

x • P (x + 1) = P (x2 + 1).

Si P (3) = 2, halla el valor de P (5).
A) 6 B) 5 C) −1 D) 0 E) 4



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7. En la siguiente figura calcula el valor de x+y.




A) 140◦ B) 144◦ C) 148◦ D) 152◦ E) 156◦


8. Sean

1


1
a + 1


= 2 ,


1
b + 2


= 3 ,

1


1
c + 3


= 6. Halla

2


1
.
a + b + c
13 2

A) 10 B) − 5

C) 5 D) − 6

E) − 9

9. Halla el coeficiente del t´ermino de mayor grado del polinomio

P (x, y) = (x2 + y)3 − (x2 − y)3.


A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

10. Los segmentos L1 y L2 son paralelos entre s´ı, y los segmentos L3 y L4 tambi´en son paralelos entre s´ı. Halla el valor de x+y.




A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20



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11. Si p y q son nu´meros primos tales que p + q2 = 102, halla p + q.
A) 82 B) 60 C) 62 D) 96 E) 94

12. Simplifica
r 46 × 69 × 94



3
A) 2 B)
2

99 × 66 × 44

4 2
C) D)
3 3




E) 1

13. La suma de 42 enteros consecutivos siempre es
A) Mu´ltiplo de 42
B) Mu´ltiplo de 6.
C) Mu´ltiplo de 7, pero no de 3. D) Mu´ltiplo de 43
E) Mu´ltiplo de 21, pero no de 2

14. Juan es un comerciante que viaja exactamente dos veces por semana; ´el puede escoger los d´ıas en los que va a viajar. Si Juan viaja un lunes ya no viaja el martes, y adema´s, por cuestiones personales, nunca viaja un s´abado. ¿De cu´antas formas puede escoger sus d´ıas de viaje en una semana determinada?
A) 4 B) 8 C) 10 D) 14 E) 18

15. Halla la suma de todos los valores reales que puede tomar x en la siguiente ecuaci´on:


x3 + x2
x + 1


33 + 32
=
3 + 1


A) 1 B) 3 C) −1 D) 0 E) 6

16. Se dan dos nu´meros naturales a y b de modo que ninguno de ellos es mu´ltiplo de 10. Si el producto de a y b es una potencia de 10 y a > b, entonces el u´ltimo d´ıgito de a − b no puede ser
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

17. La moneda de un pa´ıs lejano es el peso y hay monedas de 4 pesos, 1 peso y medio peso.
Mar´ıa lleva al banco 54 monedas que hacen un total de 200 pesos. ¿Cua´nto dinero llevo´ Mar´ıa al banco en monedas de cuatro pesos?
A) 156 B) 200 C) 188 D) 192 E) 196



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18. En el tablero mostrado se continu´an colocando enteros positivos segu´n la siguiente
regla: Si en una fila estan escritos los nu´meros (a, b, c) entonces en la siguiente fila se escribe los nu´meros (b + 1, c + 1, a + 1). En la primera fila estan escritos los nu´meros (1, 2, 3) y para las otras filas se aplica la regla

fila 1 → fila 2 → fila 3 →

. . . .


¿Cua´l es el nu´mero que se ubica en el centro de la fila 2009?
A) 2009 B) 2010 C) 2011 D) 2012 E) 2013

19. En cada una de las casillas del siguiente tablero de 3 × 3 se escribe un nu´mero real. Se sabe que el producto de los tres nu´meros de cualquier fila o de cualquier columna es igual a 4. Adem´as, el producto de los cuatro nu´meros de cualquier subtablero de 2 × 2 es igual a 8. Calcula la suma de los 9 nu´meros escritos en el tablero.







25 25
A) 16 B) 18 C) 10 D) E)
2 4
a b c

20. Los nu´meros reales a, b y c son tales que a + b + c = 6 y


a + b

+ +
b + c


c + a

= 1.


Halla

bc
a + b

ca
+
b + c

ab
+ .
c + a
1

A) 0 B) 1 C) 6 D) 36 E)
6




GRACIAS POR TU PARTICIPACIO´ N