OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMA´TICA

OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMA´TICA Sociedad Matem´atica de Educacion (ONEM 2009) Peruana
Primera Fase - Nivel 1

26 de junio de 2009

- La prueba tiene una duracion m´axima de 2 horas.

- No est´a permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.

- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar tus calculos.

- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la prueba. En caso de empate se tomar´a en cuenta la hora de entrega.

- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.


MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Pepito tiene 13 an˜os y Juanita tiene 9 an˜os. ¿Dentro de cu´antos an˜os la suma de sus edades ser´a el doble de la suma actual?


A) 11 B) 12 C) 15 D) 22 E) 23

2. Si a y b son enteros positivos tales que a + b = 5, entonces un posible valor para 2a − b es


A) 3 B) −3 C) 2 D) 4 E) −4

3. Calcula el valor de (2009 − 1)(2008 − 2)(2007 − 3) • • • (1 − 2009)


A) 1 B) 2009 C) 20092 D) 2008 E) 0

4. ¿Cua´l de los siguientes nu´meros no es mu´ltiplo de 12?


A) 1524 B) 5124 C) 5412 D) 1452 E) 2514

5. El precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Si un diamante de 5
gramos cuesta S/. 1000, ¿cu´anto cuesta un diamante de 2 gramos?


A) S/. 320 B) S/. 400 C) S/. 200 D) S/. 240 E) S/. 160


6. Mi calculadora tiene dos botones especiales. Cuando presiono el bot


n A, el nu´mero

que est

en la pantalla se duplica, y cuando presiono el bot´on B, el nu´mero que est´a

en la pantalla disminuye en 2. En una ocasio´n, en mi calculadora digit´e mi nu´mero favorito; presion´e tres veces seguidas el bot´on A, y luego tres veces seguidas el bot´on

B, y la pantalla mostr

el nu´mero 50. ¿Cu

l es mi nu´mero favorito?



A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8



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7. A un congreso internacional de matema´tica asistieron 520 personas. Se sabe que 310
personas son sudamericanas y que la cantidad de peruanos es la mitad de los que no son sudamericanos. ¿Cua´ntos peruanos asistieron al congreso?


A) 100 B) 105 C) 115 D) 111 E) 91

8. Por fin de temporada, una tienda de ropa tiene la siguiente oferta: “Ll´evate dos polos y el mas barato te sale gratis”.
Andrea escogi´o cuatro polos de precios S/. 24, S/. 22, S/. 30 y S/. 35. ¿Cuanto dinero necesita como m´ınimo para que se pueda llevar los 4 polos?


A) 57 B) 59 C) 65 D) 46 E) 52

9. ¿Cua´l es el menor nu´mero natural N por el cual hay que multiplicar a 27 para obtener un nu´mero cuya suma de sus d´ıgitos sea 27? Da como respuesta el producto de los d´ıgitos de N .


A) 21 B) 0 C) 81 D) 36 E) 63

10. Los nu´meros del 1 al 9 deben escribirse en las casillas del siguiente tablero

3
1 5
x

de tal modo que dos nu´meros consecutivos no est´en en casillas vecinas. ¿Qu´e nu´mero
es x? Aclaracion. Dos casillas son vecinas si tienen un lado o un v´ertice en comu´n.


A) 8 B) 7 C) 6 D) 9 E) 5

11. Un perio´dico cuesta S/. 0.90 y puede ser comprado junto a un suplemento opcional que cuesta S/. 1.50. Al final del d´ıa, se han vendido 333 ejemplares del perio´dico y se ha recaudado en total S/. 539.70. ¿Cu´antas ejemplares del suplemento se han vendido?


A) 160 B) 173 C) 152 D) 174 E) 200



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12. Tengo un recipiente de 20 litros de capacidad m

xima con cierta cantidad de agua y

quiero determinar cu´antos litros de agua hay en el recipiente, usando dos jarrones. El

primer jarr

n es de 4 litros y si saco agua us

ndolo varias veces, me quedar´ıan 2.7 litros

en el recipiente; el segundo jarron es de 2.5 litros y si saco agua us

ndolo varias ve-

ces, me quedar´ıan 1.2 litros en el recipiente. ¿Cu

ntos litros de agua hay en el recipiente?



A) 13.7 B) 14.7 C) 16.7 D) 16.2 E) 18.7

13. Si a52 − a2 = (a − 2)mn(a + 5), halla a + m + n.


A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

14. ¿Cua´ntos elementos del conjunto {10, 11, 12, . . . , 98, 99} cumplen que la suma de sus d´ıgitos es un nu´mero par ?


A) 40 B) 42 C) 45 D) 46 E) 50


15. Un comerciante compr

una cantidad de juguetes a n soles cada uno. Si el comerciante

logr

vender P juguetes menos de los que compro´, vendi´endolos a m soles cada uno, y

obtuvo una ganancia de 6 m soles, ¿cu´antos juguetes compro´?



m(P + 6) A)
m − n

(P + 6) B)
n − m

n(P + 6) C)
m − n

m(P + 6) D)
n − m

6(P + n) E)
n − m


16. El nu´mero total de alumnos de las secciones A y B del cuarto grado es 104. Cada alum- no tiene exactamente un amigo en el cuarto grado; decimos que un alumno es t´ımido si su amigo pertenece a su misma seccio´n y decimos que es sociable si su amigo est´a en la otra secci´on. Si 60 alumnos son sociables y hay 20 alumnos t´ımidos en la secci´on A,
¿cua´ntos alumnos hay en la secci´on B?


A) 44 B) 54 C) 50 D) 52 E) 60

17. ¿Cua´ntos nu´meros capicu´as de 5 d´ıgitos no son mu´ltiplos de 5? Aclaraci´on : Un nu´mero capicu´a es aquel que le´ıdo de izquierda a derecha es el mismo que le´ıdo de derecha a izquierda, por ejemplo, 1221 y 34043 son capicu´as.


A) 720 B) 900 C) 729 D) 576 E) 800



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18. En la siguiente suma, cada letra representa un d´ıgito mayor que cero:

ON EM + P ERU = 3793;

adema´s, letras distintas representan d´ıgitos distintos. Halla

O2 + N 2 + E2 + M 2 + P 2 + E2 + R2 + U 2

A) 140 B) 145 C) 149 D) 100 E) 107

19. En una caja, tengo pan˜uelos rojos, blancos, azules y verdes; 7 pan˜uelos de cada color.
¿Cua´ntos pan˜uelos debo sacar como m´ınimo, sin ver, para estar seguro de tener al menos 3 pan˜uelos rojos, 2 pan˜uelos blancos y 1 pan˜uelo azul?


A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 21

20. Un tablero de ajedrez de 8 × 8 (como se muestra en la figura) es dividido en N recta´n- gulos que no se superponen, de acuerdo a las siguientes condiciones:


Cada rect
Cada rect

ngulo est´a formado s´olo por cuadraditos del tablero.
ngulo tiene la misma cantidad de cuadraditos blancos que de negros.

No hay dos recta´ngulos que est´en formados por la misma cantidad de cuadraditos.




Halla el mayor valor posible de N .


A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5




GRACIAS POR TU PARTICIPACIO´ N